이산정현파 신호의 주기성
이산정현파 신호는 다음과 같이 주기성을 가지고 있다.
- 이산 정현파는 다음과 같이 (디지털) 주파수가 유리수일 때만 주기신호이다.
$${\Omega_0 \over 2\pi} = F_0 = {k \over N}, \ \ k,\ N은 정수\qquad \cdots (6.1)$$ - 주파수가 <$2\pi$>의 정수배 만큼 차이나는 이산 정현파들은 같은 신호이다.
- 모든 이산 정현파는 <$-\pi \le \Omega \le \pi (-0.5 \le F \le 0.5)$>에서 표현할 수 있다.
이산시간 푸리에 급수(DTFS)
이산 <$N$>-주기 신호 <$x[n]$>은 정수인 주기 <$N$>에 대해 <$x[n] = x[n+N]$>을 만족하는 신호이다. 이산 <$N$>-주기 신호의 기본 주파수는 <$\Omega_0 = {2\pi \over N}\left ( F_0 = {1 \over N} \right )$>이고, <$k$>고조파의 주파수는 <$k\Omega_0 = {{2\pi k} \over {N}}$>가 된다. 그런데 식 (6.2)의 <$2\pi$>-주기성에 의해 다음과 같이 <$k$>고조파와 <$k+N,\ k+2N,\ k+3N\ \cdots$>고조파는 구분되지 않는 같은 신호이다.
그러므로 연속주기 신호의 푸리에 급수에서는 모든 고조파가 서로 다른 신호인 반면, 이산 주기 신호에서는 <$2\pi$>-주기성 때문에 서로 다른 고조파가 단지 <$N$>개 뿐이다. 따라서 <$N$>-주기 신호 <$x[n]$>의 푸리에 급수는 다음과 같이 <$N$>개의 복소 정현파의 일차 결합으로 표현된다.
$$x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} X_m e^{jm\Omega_0 n} \qquad \cdots \ (6.4)$$
그리고 식 (6.4)의 푸리에 계수 <$X_k$>를 구하면 다음과 같다.
$$X_k = {1 \over N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\Omega_0 n}\qquad \cdots \ (6.8)$$
이산시간 푸리에 급수는 연속 시간 푸리에 급수와 매우 유사하지만, 최대 N개의 주파수 성분만 가지며, 스펙트럼이 <$2\pi$> 구간으로 대역 제한되어 주기적으로 반복된다는 점에서 차이가 있다. (연속주기 신호는 일반적으로 무한개의 주파수 성분을 갖고 스펙트럼의 대역폭도 무한대가 된다.)
이산시간 푸리에 급수는 이산 <$N$>-주기 신호를 <$N$>개의 고조파 합으로 나타낸 것이다.
- 푸리에 급수(합성식)
$$x[n] = \sum_{n=<N>} X_k e^{jk\Omega_0 n}$$ - 푸리에 계수(분석식)
$$X_k = {1 \over N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\Omega_0 n}$$
<$N$>-주기 신호: <$N$>개의 샘플마다 같은 값이 반복되는 신호.
스펙트럼으로부터 이산 <$N$>-주기 신호를 합성하려면 단지 연속되는 <$N$>개의 주파수 성분만 더하면 된다. 이때 구간의 위치는 상관이 없다.
이산시간 푸리에 변환(DTFT)
이산 비주기 신호에 대한 주파수 영역 해석 도구도 필요하다. 비주기 신호 <$x[n]$>이 N-주기 신호 <$x_N [n]$>의 한 주기를 취한 신호라면, <$x[n]$>은 <$x_N [n]$>의 주기 <$N$>이 무한대인 경우로 간주할 수 있다. 따라서 주기 신호의 이산시간 푸리에 급수에 <$N \longrightarrow \infty$>의 극한을 취하면, 비주기 신호의 주파수 영역을 표현할 수 있다. 그러나 이산 신호에서는 극한을 취하기 전에 먼저 포락선envelope 함수를 도입하는 사전 작업이 필요하다.
DTFT는 복소 정현파에 의해 이산 비주기 신호를 주파수 영역에서 표현한 것이다.
- 이산 시간 푸리에 변환(분석식)
$$X(\Omega ) = \mathcal{F} \{x[n] \} \ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n} \qquad \cdots \ (6.14)$$ - 역 이산 시간 푸리에 변환(합성식)
$$x[n] = \mathcal{F}^{-1} \{X(\Omega ) \} = {{1} \over {2\pi}}\int_{2\pi} X(\Omega )e^{j\Omega n} d\Omega \qquad \cdots \ (6.17)$$
이산 주기신호와 마찬가지로, 이산 정현파의 <$2\pi$>-주기성으로 인해 이산 비주기 신호의 스펙트럼도 주기 <$2\pi$>로 반복된다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 주기성
<$X(\Omega + wm\pi) = X(\Omega )$>인 주기성을 만족한다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 선형성
두 신호 <$x[n]$>과 <$y[n]$>에 대한 DTFT를 각각 <$X(\Omega ),\ Y(\Omega )$>라고 하면, 두 신호의 가중 합에 대한 DTFT는 다음과 같이 선형성을 만족한다.
$$\mathcal{F}\{ \alpha x[n] + \beta y[n] \} = \alpha X(\Omega ) + \beta Y(\Omega )$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 대칭성
<$x[n]$>이 실수이면, <$x^{*}[n] = x[n]$>이므로 DTFT는 공액 대칭을 만족한다.
$$X^{*}(\Omega ) = X(-\Omega )$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 시간 이동
<$n_0$>만큼 시간 이동된 신후 <$x[n-n_0 ]$>의 DTFT는 다음과 같다.
$$\mathcal{F} \{ x[n-n_0 ] \} = e^{-jn_0 \Omega} X(\Omega )$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 주파수 이동
시간이동과는 반대로, 주파수 영역에서 푸리에 스펙트럼을 <$\Omega_0$>만큼 이동시키면 시간 신호가 다음과 같이 영향을 받는다.
$$\mathcal{F} \{ X(\Omega - \Omega_0) \} = e^{j\Omega_0 n} x[n] \qquad \cdots \ (6.44)$$
그런데, <$e^{j\Omega_0 n}$>은 물리적으로 만들 수 없는 신호이므로, 실제로 주파수 이동을 시키려면 오일러 공식을 이용하여 <$x[n]$>에 정현파 <$cos \Omega_0 n$>을 곱하면 된다.
$$x[n]cos \Omega_0 n = {1 \over 2}x[n](e^{j\Omega_0 n} + e^{-j\Omega_0 n}) \qquad \cdots \ (6.45)$$
식 (6.45)는 진폭 변조로서 다음과 같은 DTFT 쌍이 성립한다.
$$x[n]cos \Omega_0 n \iff {1 \over 2}[X(\Omega - \Omega_0) + X(\Omega + \Omega_0 )] \qquad \cdots \ (6.46)$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 시간 반전
시간축 상에서 뒤집은 신호 <$x[-n]$>의 DTFT를 구하면
$$\mathcal{F} \{ x[-n] \} = X(-\Omega )$$
이므로, 시간 반전 효과는 주파수 반전이다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 시간 척도 변화
시간 척도가 바뀐 신호 <$x[an]$>에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
$$\mathcal{F} \{ x[-n] \} = X \left ( {\Omega \over a} \right )$$
즉, 시간 영역에서 신호를 압축하면 주파수 스펙트럼은 신장되고, 역으로 신호를 신장시키면 주파수 스펙트럼이 압축된다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 주파수 미분
식(6.14)의 양변을 <$\Omega$>로 미분하면 다음과 같은 DTFT 쌍을 얻을 수 있다.
$$nx[n] \iff j{{dX(\Omega )} \over {d\Omega}}$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 시간 컨벌루션
LTI 시스템에서 입력 <$x[n]$>에 대한 출력 <$y[n]$>은 임펄스 응답 <$h[n]$>과 <$x[n]$>의 컨벌루션으로 주어지므로, 시간 컨벌루션의 푸리에 변환을 구하는 것은 대단히 중요하다. 두 신호의 컨벌루션에 대한 DTFT를 구해보면 다음과 같다.
$$\mathcal{F} \{ x[n] * h[n] \} = X(\Omega ) Y(\Omega ) \qquad \cdots \ (6.51)$$
시간 영역에서 두 신호의 컨벌루션은 주파수 영역에서의 각 신호의 푸리에 변환(스펙트럼)의 곱하기가 되어 계산이 매우 단순해 진다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 주파수 컨벌루션 (창 씌우기 정리)
시간 컨벌루션 성질의 시간-주파수 쌍대 관계로 주파수 영역에서 두 스펙트럼의 컨벌루션에 대해 다음 DTFT 쌍이 성립한다.
$$x[n]w[n] \iff {1 \over 2\pi}X(\Omega ) ○ W(\Omega ) \qquad \cdots \ (6.52)$$
여기서 ○은 원형 컨벌루션인데, 이산 신호의 스펙트럼은 주기 함수이므로 컨벌루션 또한 한 주기에 대해서만 취하게 된다.
이산시간 푸리에 변환의 성질: 파스발의 정리
파스발Parseval의 정리는 시간 영역에서 구한 신호의 에너지(또는 전력)는 푸리에 표현, 즉 주파수 영역에서도 동일하며, 이때 다른 주파수 성분끼리는 전력이나 에너지를 형성하지 않는다는 뜻이다.
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2} = {1 \over 2\pi}\int_{2\pi}|X(\Omega)|^{2} d\Omega$$
이산시간 푸리에 변환의 성질: 시간 주파수 쌍대성
수학적으로 엄밀하게 시간-주파수 쌍대성을 만족하려면 변환(분석식)과 역 변환(합성식)의 수식 표현이 동일해야 한다. 그런데 DTFT는 변환과 역 변환의 수식 형태가 총합과 적분으로 다르기 때문에 수학적으로 딱 맞아 떨어지지는 않는다. 그러나 DTFT에서도 쌍대성의 구도가 개념적으로는 유효하다.
시간 -주파수 쌍대성은 푸리에 표현과 관련된 어떠한 결과나 관계에도 신호와 스펙트럼의 역할을 맞바꾼 쌍대적인 결과 또는 관계가 존재하는 것을 보장해 준다.