System의 분류

공학적인 입장에서 Causal & Stable 이라는 요구조건은 반드시 필요한 조건이다!

1. Dynamic

2. Linear
3. Time Invariant
4. Causal
   미래의 입력에 영향을 받지 않는 시스템 
5. Stable

예제

<$y_1 (n) = x^2 (n)$>

1. Linear 여부: 제곱이 있으므로 Linear하다.
2. Time Invariant 여부: TI 하다.
3. Causal 하다.

<$y_2 (n) = ax(n) + b$>

• Linear 여부: non-linear system이다.
  <$T(0) = 0$> 임을 만족하지 않음.

<$y_3 (n) = n \cdot x(n)$>

1. Linear 여부: Linear 이다.
   T(0) = 0 이지만 이 조건만으로는 Linear 여부를 확신할 수 없음
    <$x_1 \longrightarrow y_1 = nx_1$>
    <$x_2 \longrightarrow y_2 = nx_2$> 
    <$ax_1 + bx_2 \longrightarrow n(ax_1 + bx_2 ) = a \cdot nx_1 + b \cdot nx_2 = ay_1 + by_2$>
   즉, 선형 조합으로 입력되었을 때 동일한 형태로(=각 신호에 대한 출력신호에 동일한) 출력신호가 나타나게 되면 Linear 하다.
   Super Position 특성을 만족한다.
2. Time-Invariant 여부: Time Variant 시스템이다.
   <$T(x(n)) = nx(n)$> 이라 할때, <$T(x(n-t)) = y(n, k) = nx(n-k)$> 이 된다.
   하지만 위 식에 <$n-k$>를 대입한 결과가 <$y(n-k) = (n-k) \cdot x(n-k)$> 이므로 위 식과 다르다. 따라서 본 시스템은 Time Variant 시스템이 된다.

<$y_5 (n) = x(n^2 )$>

1. Linear 여부: Linear system이다.
2. Time Invariant 여부: Time Invariant 이다
3. Causal 여부: non-causal 이다.
   <$y_5(-1) = x(1)$>

정리

1. 종속변수(<$x(n)$>)에 대한 임의의 함수의 형태로 연산이 주어졌을 때, 그 시스템은 비선형 시스템이다.
   ex) <$y(n) = e^{x(n)}$>, <$\sqrt{x(n)}$> 등등
2. Time-Variant와 Time-Invariant를 구분하는 방법은 까다롭다.
   <$y(n) = n \cdot x(n)$> 이 있을 때,
   1. Time-Varing System: 종속변수(<$x(n)$>) 앞에 붙는 임의의 계수(<$n$>: coefficient)의 값이 n에 대한 함수로 주어졌을 때, 즉 상수가 아닐 때
      <$y_8 (n) = x(-n)$> (<$-n$> : scaling / folding)
3. Causal System을 구분하는 방법(쉬움)
   특성방정식에 <$n = \pm 1$>을 대입하여 현재의 출력이 미래의 입력에 영향을 받는지만 확인하면 됨.

시스템간의 연결 (Interconnection of System)

이산시간 시스템을 서로 연결한다고 했을 때, 어떻게 할까?

직렬연결 (Cascade Connection)

의문점1: 만약에 T1과 T2라는 시스템의 순서를 바꾸고자 한다면 어떻게 해야될까?

과연 그림 1의 출력신호와 그림 2의 출력신호가 같을까? 다르다.

두 DT 시스템을 직렬연결하였을 때, 순서를 바꾸면 그 최종 출력신호는 달라진다. 하지만, T1과 T2가 특정한 조건을 만족하면 둘의 순서를 바꾸어도 출력이 바뀌지 않는 상황이 있을 수 있을 것이다. 이렇게, 두 시스템의 순서를 바꾸어도 출력이 바뀌지 않는 시스템을 LTI(Linear Time Invariant) System 이라 부른다.

병렬연결 (Parallel Connection)

Analysis of LTI Systems

왜 System을 분석(해석)할까?

• 어떤 출력이 나올지 알고싶다.
• 어떤 입력에 의해서 어떤 출력이 나타나는지 알고싶다.(예측하고 싶다)
• 우리가 원하는 입력을 통해 원하는 출력을 만들고 싶으면, 분석이 필요하다.

일반적으로 LTI System은 아래와 같은 System 방정식이 주어진다.(차분방정식)

$$y(n) + \sum_{k=1}^{N}a_k y(n-k) = \sum_{k=1}^{M}b_k x(n-k)$$

1. 종속변수인 <$y(n)$>에 대한 연산은 존재하지 않음을 알 수 있다. (Linear)
2. 종속변수에 임의의 상수를 곱하는 연산만 존재한다. (Time Invariant)
3. 계수가 모두 상수이다. (Time Invariant)

아래와 같은 system이 있다고 하자,

$$y(n) = {1 \over 2} y(n-1) + {1 \over 3} \left ( x(n) + x(n-1) \right ),\ x(n) = u(n),\ y(0) = 0$$

위 시스템에서 <$n = 1$>이면, 아래와 같이 system을 해석할 수 있을 것이다.

<$y(1) = {1 \over 2}y(0) + {1 \over 3} \left ( x(1) + x (0) \right )$>

<$y(1000)$>을 구하라고 한다면, <$y(1)$>부터 계산하는 사람도 있을 것이다. 하지만 이런 경우에는 정형화된 해석방법이 있지 않을까?

미분방정식과는 다르게, 차분방정식에서는 정형화된 솔루션기법은 별로 큰 의미를 갖지 않는다.

차분방정식을 푸는 방법 이외에 시스템을 이해하는 방법은 없을까? 차분방정식을 푸는 방법(=time-domain analysis)은 일반적으로 효율적이지 못하다.

time-domain analysis

약자: TD (Time-domain)

차분방정식을 직접 풀어서 해석하는 방법. 효율적이지 못하다.

Frequency-domain analysis

약자: FD(Frequency-domain)

엄밀한 의미로 표현하자면 Frequency-domain 이라는 용어 보다는 Transform-domain이 적합할 수 있다.

Response of LTI System

LTI System에서 임의의 입력<$x(n)$>이 주어졌을 때, 그때의 출력신호는 무엇이 될 것인가를 알아보자.

만약에 <$T$>라는 연산으로 표현되는 임의의 LTI System이 있을 때, 입력 <$x(n)$>에 대한 출력 <$y(n)$>은 어떻게 될까?

위 문제를 해결하기 위한 접근방법으로는 두 가지가 있다.

time-domain analysis

LTI System에서의 입력은

$$x(n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty}x(k)\delta (n-k)$$

으로 표현할 수 있으며, 이를 Impulse function의 shifting property라 말한다. 이 <$x(n)$>이 입력되었을 때, <$y(n)$>의 경우는 아래와 같이 표현될 수 있다.

$$y(n) = T \left (x(n) \right ) = T \left ( \sum_{k = - \infty}^{\infty}x(k)\delta (n-k) \right )$$

여기서 <$T$>는 LTI System 이고, Linear이기 때문에, Superposition의 원칙에 따라서 <$T$>라는 연산과, <$\sum$> 나아가서는 <$T$>라는 연산과 상수값(<$x(k)$>)의 순서를 바꾸어 주어도 된다. 따라서 위 식을 계속 전개하면,

$$= \sum_{k} x(k) \cdot T \left ( \delta (n-k) \right )$$

이고, 초기조건이 0(=system이 reset)인 상태에서의 출력을 <$T \left ( \delta (n) \right ) = h(n)$>이라 정의 해 보자.

$$\therefore y(n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)h(n-k) = x(n) * h(n)$$

에 의해서 정의된다. 위 표현(<$x(n) * h(n)$>)을 Convolution(합성곱) 이라 정의한다. 이 수식을 사용해서 임의의 입력 <$x(n)$>이 주어지고, 우리가 그 시스템의 impulse response <$h(n)$>을 알 때, 그 시스템의 출력신호<$y(n)$>을 구할 수 있다.

Convolution(합성곱)의 예

아래 그림과 같이 Impulse Response <$h(n)$>과 입력신호 <$x(n)$>이 주어진 경우, convolution 연산의 결과를 계산해 보자.

위 문제의 해법은 세 가지 방법이 있다. (Graphical Approach)

첫번째, <$n = 1$>로 고정된 경우,

1. folding: <$n=1$> 인 지점을 기준으로 좌우 대칭한다.
2. 오른쪽으로 <$n_0$>만큼 shifting 한다.
   
   
   

3. mult(곱) 연산을 수행한다.
   <$x(n)$>의 각 n의  index에 해당하는 값과, <$h(-k + 1)$>의 각 k의 index에 해당하는 값과 곱해주면 된다.
   (0이 아닌 값을 가지는 범위 내에서만 구해주면 된다.) 

   n / k의 index	<$x(n)$>	<$h(-k+1)$>	Convolution 결과
   -1	0	-1	0
   0	1	1	1
   1	2	2	4
   2	3	1	3
   3	1	0	0
   합계			8

    

참고로 위 식에서 <$y=0$>를 만족하는 n의 범위는 다음과 같다.

$$y=0, \ \begin {cases} n \le -2 \\ n \ge 6 \end {cases}$$

두번째, Table 구성을 통한 활용기법

세 번째, 아래와 같이 표현하면 covolution을 쉽게 구할 수 있다.

위 식을 Table로 표현하면, Convolution 연산을 쉽게 계산할 수 있다.

h = [1 2 1 -1]
x = [1 2 3 1]
y = conv(h, x)